قوانين الاحتمالات للمتغيرات المتصلة: المفاهيم والتوزيعات الأساسية

مقدمة

في المقالين السابقين، تناولنا المفاهيم الأساسية للاحتمالات وتعرفنا على المتغيرات العشوائية المنفصلة. لكن ماذا عن الحالات التي يمكن فيها للمتغير أن يأخذ عددًا لا نهائيًا من القيم ضمن مدى معين؟
هنا تظهر المتغيرات العشوائية المتصلة (أو المستمرة)، والتي تلعب دورًا جوهريًا في تعلم الآلة والإحصاء، حيث تُستخدم لنمذجة العديد من الظواهر الطبيعية مثل الطول، الوزن، درجات الحرارة، أوقات الانتظار، وغيرها.
سنغطي في هذا المقال المفاهيم الأساسية للمتغيرات المستمرة، ونستعرض أهم التوزيعات الاحتمالية المرتبطة بها، مثل التوزيع الطبيعي، التوزيع الأسي، والتوزيع الموحد.

🔹 ما هو المتغير العشوائي المتصل؟

المتغير العشوائي المستمر هو متغير يمكنه أخذ عدد لا نهائي من القيم ضمن مدى معين. على سبيل المثال، إذا كنا نقيس وزن شخص ما، فإن القيم الممكنة لن تكون 60 كجم أو 61 كجم فقط، بل تشمل كل القيم بينهما مثل 60.2 أو 60.85 كجم، وهكذا.

على عكس المتغيرات المنفصلة التي تعتمد على دالة الكتلة الاحتمالية، يتم تحديد احتمالات المتغيرات المستمرة باستخدام دالة الكثافة الاحتمالية.

🔹 دالة الكثافة الاحتمالية

تعريف:
تمثل دالة الكثافة الاحتمالية احتمالية أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر قيمة معينة أو يقع ضمن مدى معين.
لكن انتبه! في المتغيرات المستمرة، لا يمكن تحديد احتمال دقيق لنقطة واحدة، بل نحسب الاحتمالات لمجالات معينة من القيم.

الصيغة العامة:
ح(ب ∈ [أ1، أ2]) = ∫ من أ1 إلى أ2 دَ(ب) د(ب)

حيث أن:
🔹 دَ(ب) هي دالة الكثافة الاحتمالية.
🔹 التكامل يُحسب على المجال المطلوب إيجاد الاحتمال له.

✅ مثال توضيحي:
لنفترض أن لدينا دالة كثافة احتمالية لطول الأشخاص البالغين في مجتمع معين، وأننا نريد حساب احتمال أن يكون طول شخص ما بين 170 و180 سم. هنا، نستخدم التكامل لحساب هذا الاحتمال.

🔹 أشهر التوزيعات الاحتمالية للمتغيرات المستمرة

1️⃣ التوزيع الطبيعي

يُعرف أيضًا باسم التوزيع الغوسي، وهو أحد أهم التوزيعات الاحتمالية في الإحصاء وتعلم الآلة. يتميز بمنحنى متماثل على شكل جرس، حيث تكون القيم القريبة من المتوسط أكثر احتمالًا من القيم البعيدة عنه.

الصيغة الرياضية:

دَ(أ) = (1 / (تِ جِ(2بَ))) x هـ^(-(أ – مُ)² / (2تِ²))

حيث:
🔹 مُ هو المتوسط (القيمة المركزية للتوزيع).
🔹 تِ هو الانحراف المعياري (يقيس مدى تشتت البيانات حول المتوسط).
🔹 هـ هو الثابت الرياضي أويلر (تقريبًا 2.71828).
🔹 بَ هو الثابت الرياضي باي (حوالي 3.14159).

✅ لماذا هو مهم؟
🔸 العديد من الظواهر الطبيعية تتبع التوزيع الطبيعي مثل الأطوال، الأوزان، درجات الذكاء، الأخطاء في القياسات،… إلخ.
🔸 يُستخدم في تعلم الآلة لنمذجة البيانات وتطبيق تقنيات مثل تحليل الانحدار، الشبكات العصبية، والتعلم العميق.

2️⃣ التوزيع الأسي

يُستخدم التوزيع الأسي عندما نهتم بنمذجة الفترات الزمنية بين الأحداث المتتالية، مثل الوقت بين مكالمات العملاء في مركز خدمة، أو الزمن اللازم لوصول سيارة إلى محطة وقود.

الصيغة الرياضية:

دَ(أ) = لاَ x هـ^(-لاَ x أ) , أ > 0
دَ(أ) = 0 , أ ≤ 0

حيث:
🔹 لاَ هو معدل الفشل (عدد الأحداث المتوقعة لكل وحدة زمنية).
🔹 هـ هو الثابت الرياضي أويلر.

✅ أين يُستخدم؟
🔸 حساب مدة الانتظار حتى وقوع حدث معين (مثل وصول رسالة بريد إلكتروني).
🔸 نمذجة الأعطال في المعدات والأنظمة الهندسية.

التوقع والتباين:

🔹 التوقع (المتوسط): تَ(أ) = 1 / لاَ
🔹 التباين: بَ(أ) = 1 / لاَ²

3️⃣ التوزيع الموحد

يُستخدم عندما يكون لجميع القيم في مدى معين نفس الاحتمال، أي أن المتغير العشوائي موزع بشكل متساوٍ بين حدين معينين.

الصيغة الرياضية:

دَ(أ) = 1 / (ب – ن) , إذا كان ب ≤ أ ≤ ن
دَ(أ) = 0 , إذا كان أ خارج النطاق المحدد

حيث:
🔹 ب هو بداية الفترة.
🔹 ن هو نهاية الفترة.

✅ أين يُستخدم؟
🔸 اختيار عينة عشوائية متساوية الاحتمال من مجموعة قيم.
🔸 توزيع الأرقام العشوائية في الخوارزميات والمحاكاة الحاسوبية.

التوقع والتباين:

🔹 التوقع (المتوسط): تَ(أ) = (ب + ن) / 2
🔹 التباين: بَ(أ) = (ب – ن)² / 12
🔹 الانحراف المعياري: تِ(أ) = جِـ( (ب – ن)² / 12 )

🔹 الخلاصة

🔸 المتغيرات العشوائية المستمرة تأخذ عددًا لا نهائيًا من القيم ضمن مدى معين.
🔸 تُستخدم دالة الكثافة الاحتمالية لحساب احتمالات هذه المتغيرات.
🔸 هناك عدة توزيعات مهمة مثل:
✔ التوزيع الطبيعي: يُستخدم لنمذجة البيانات الطبيعية والمتغيرة باستمرار.
✔ التوزيع الأسي: يُستخدم لنمذجة الفترات الزمنية بين الأحداث.
✔ التوزيع الموحد: يُستخدم عندما تكون كل القيم ضمن نطاق معين متساوية الاحتمال.

📌 هذه التوزيعات تُستخدم على نطاق واسع في تعلم الآلة، حيث تساعد في فهم وتفسير البيانات، وتحسين أداء النماذج الإحصائية! 

🔗 تعلم الآلة بالعربية – المتغيرات العشوائية المنفصلة: المفهوم، القوانين والتوزيعات الاحتمالية
🔗 تعلم الآلة بالعربية – مدخل إلى الاحتمالات: كيف نحسبها بشكل صحيح؟