مدخل إلى الاحتمالات: كيف نحسبها بشكل صحيح؟

مقدمة: كيف نفهم العشوائية بالأرقام؟

تخيل أنك تلعب بالنرد 🎲، وترميه في الهواء متسائلًا: “ما احتمال أن يظهر الرقم 6 على وجهه العلوي؟” 🤔

هذا النوع من الأسئلة هو ما يحاول علم الاحتمالات الإجابة عليه، فهو المجال الذي يدرس التجارب العشوائية ويقيس مدى إمكانية حدوث أحداث معينة بناءً على قواعد رياضية دقيقة.

📌 لكن لحظة… هل يمكننا التنبؤ بنتيجة رمية نرد؟
لا، لا يمكننا ذلك! لأن النرد متوازن، وكل وجه لديه نفس الفرصة للظهور. ومع ذلك، يمكننا حساب احتمال ظهور كل رقم!

✍️ مثال سريع:
إذا رميت النرد (ر) مرة، وظهر الرقم 6 على الوجه العلوي (و) مرة، فإن الاحتمال التقريبي لظهور 6 يُحسب كالتالي:

ح(أ) = و ÷ ر

حيث أن:

• ح(أ) هو احتمال حدوث الحدث (أ).
• و هو عدد المرات التي حدث فيها (أ).
• ر هو عدد التجارب الكلي.

لكن هذا مجرد حساب تقريبي! لمعرفة الاحتمال النظري، علينا التوسع أكثر… لنكمل! 👇

مفهوم الاحتمالات: كيف نحسبها بشكل صحيح؟

💡 الاحتمال هو طريقة لقياس فرص وقوع حدث معين، ويتراوح دائمًا بين 0 و 1:

• إذا كان احتمال الحدث = 0 فهذا يعني أنه مستحيل.
• إذا كان = 1 فهذا يعني أنه مؤكد.
• إذا كان بين 0 و 1 فهو احتمال نسبي بناءً على العشوائية.

🎯 تعريف رياضي دقيق:
يُطلق مصطلح “الحدث” على أي مجموعة من النتائج ضمن الفضاء العيني (Ω)، وهو مجموعة جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية.

✍️ مثال:
في تجربة رمي نرد، لدينا فضاء العينة (Ω) التالي:
Ω = { 1، 2، 3، 4، 5، 6 }

إذا كان الحدث (أ) يمثل ظهور رقم زوجي، فسيكون:
أ = { 2، 4، 6 }

أما الحدث (ب) وهو ظهور رقم فردي:
ب = { 1، 3، 5 }

🔹 حساب الاحتمالات:
بما أن كل رقم لديه فرصة متساوية للظهور:

ح(أ) = عدد عناصر أ ÷ عدد عناصر Ω = 3 ÷ 6 = 1 ÷ 2

ح(ب) = عدد عناصر ب ÷ عدد عناصر Ω = 3 ÷ 6 = 1 ÷ 2

لاحظ أن:
ح(أ) + ح(ب) = 1

وهذا منطقي لأن كل رقم على النرد إما زوجي أو فردي، ولا يوجد احتمال آخر! 😃

الخصائص الأساسية للاحتمالات

لكي يكون أي نموذج احتمالي منطقيًا ومتسقًا رياضيًا، يجب أن يحقق القواعد التالية:

1️⃣ الاحتمال دائمًا بين 0 و 1:
0 ≤ ح(أ) ≤ 1

2️⃣ إذا كان الحدث هو الفضاء العيني كله (أي أن وقوعه مؤكد)، فإن احتماله = 1:
ح(Ω) = 1

3️⃣ إذا كان لدينا حدث مستحيل (أي لا يمكن حدوثه أبدًا)، فإن احتماله = 0:
ح(Ø) = 0

4️⃣ إذا كانت لدينا مجموعة من الأحداث غير المتداخلة، فإن احتمال اتحادها يساوي مجموع احتمالاتها:
ح(أ ∪ ب) = ح(أ) + ح(ب) – ح(أ ∩ ب)

✍️ ملاحظة:
إذا كان الحدثان غير متداخلين (أي لا يمكن أن يحدثا معًا)، فإن:
ح(أ ∪ ب) = ح(أ) + ح(ب)

الاحتمالات المشروطة: عندما يرتبط حدث بآخر

🚀 كيف نحسب احتمال حدوث حدث معين عندما نعلم أن حدثًا آخر قد وقع بالفعل؟

🤔 تعريف:
إذا كنا نريد حساب احتمال وقوع الحدث (أ) مع العلم أن (ب) قد حدث، فإننا نستخدم الاحتمال الشرطي، ويُحسب كالتالي:

ح(أ | ب) = ح(أ ∩ ب) ÷ ح(ب)

✍️ مثال توضيحي:
افترض أن لدينا كيسًا يحتوي على:

• 4 كرات حمراء 🎈
• 6 كرات زرقاء 🔵

إذا سحبنا كرة بشكل عشوائي، فما احتمال أن تكون حمراء، مع العلم أننا نعرف أنها ليست زرقاء؟

✅ الحل:

• فضاء العينة الأصلي: 4 + 6 = 10
• احتمال سحب كرة حمراء بدون معلومات إضافية:
  ح(حمراء) = 4 ÷ 10 = 0.4
• لكن بما أننا نعلم أنها ليست زرقاء، فهذا يعني أن الفضاء المتبقي هو فقط الكرات الحمراء.
• وبالتالي، الاحتمال المشروط:
  ح(حمراء | ليست زرقاء) = 4 ÷ 4 = 1

بمعنى أنه إذا كنا متأكدين أن الكرة ليست زرقاء، فلا بد أنها حمراء بنسبة 100%! 😃

قاعدة بايز: عندما تتغير الاحتمالات بالمعلومات الجديدة

🚀 قاعدة بايز هي من أهم القوانين في علم الاحتمالات، وتستخدم لتحديث الاحتمالات عند توفر معلومات جديدة.

ح(أ | ب) = (ح(ب | أ) × ح(أ)) ÷ ح(ب)

📌 مثال عملي:
إذا كانت نسبة المصابين بمرض معين 5%، ولكن اختبارًا معينًا يكشف المرض بنسبة دقة 90%، فكم احتمال أن يكون الشخص مريضًا فعلًا إذا جاءت نتيجة الاختبار إيجابية؟ 🤔

هنا نستخدم قاعدة بايز لحساب الاحتمال بناءً على المعلومات الجديدة! 🔥